「当たり前」って何だろう？公理の話【掛け算の順序6話目】

こんにちは。しらこです。

前々回のお話で、「掛け算はどれで定義してもよい」というお話をしました。

ということは…

2×3も3×2も、当たり前？

「あの時」の私の解答↓

↑「2×3」も「3×2」も「答えが同じ」と解答している。
これは、「答えを計算している」ということ。

この時、本当に「2×3＝3×2」の根拠が分かっていたら、こう説明出来る。↓

数え方が変わっても、そこにある"数"は変わらない。
だから、「掛け算は入れ替え可能」なんだねぇ。。。

↑かけ算を「2×3=2＋2＋2」と、累加で定義した以上、可換は当たり前ではない。だけど…というお話。

【超重要な注1、2】
数学を議論する際のお話です。
小学生は、「九九がそうだから」や、「計算結果が同じ」等も、立派な根拠になると思います。

「これ以上は説明出来ない」事柄

１ 一般に通用する道理。

２ 数学で、論証がなくても自明の真理として承認され、他の命題の前提となる根本命題。

３ 自明であると否とを問わず、ある理論の前提となる仮定。

公理（こうり）の意味-goo国語辞書

 

数学的帰納法…。
習った記憶はあるが、すっかり忘れている。
何だったっけ？？？？

数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は証明の手法の一つ。自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立つ事を証明するために、次のような手続きを行う[注 1]。

1. P(1) が成り立つ事を示す。
2. 任意の自然数 k に対して、「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つ事を示す。
3. 1と2の議論から任意の自然数 n について P(n) が成り立つ事を結論づける。

数学的帰納法-Wikipedia

何だか難しそう？？
いいえ、とてもとても簡単です。そしてそれは次のお話…。

こぼれ話

「2×3」も「3×2」も同じなら、どっちかに統一すれば良くない？？

「2×3」と「3×2」に"違いが全くない"なら、もういっそのこと、どっちかに統一してしまえばよくないですか？
例えば、「数字が小さい方を前に書く」というルールにしたら、「3×2」って書くことがなくなり、常に「2×3」と書くことになる。

何故、このような表記ではダメなのでしょう？

実は答えはもうこのブログ内のどこかに出ているんだけど、また後日、（もしかしたら演算や実用上の問題を交えて）詳しくリライトします。

（注意：あくまでも数学のお話です。教育上云々の話ではありません。）
 

【2022/03/17追記↓】

何故、九九表の表記を半分だけ、とか、掛け算が交換可能なら片方だけ覚えればいい、としちゃダメなの？

何故なら、掛け算は演算だから。

数学において、二項演算（にこうえんざん、英: binary operation）は、数の四則演算（加減乗除）などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法（にこうさんぽう）、結合などともいう。

二項演算-Wikipedia

 
例えば、
パンツを履いてズボンを履く。
ズボンを履いてパンツを履く。
パンツを先に履くか、ズボンを先に履くかで、見た目が変わる。
見た目に注目するのであれば、非可換（交換できない）。

でも、パンツとズボンを履いた時の「重さ」が知りたい。
のであれば、パンツを先に履いても、ズボンを先に履いても、重さは同じ（重さは可換（交換可能））。

見た目は関係ない重さを知りたかったとしても、パンツを先に履くか、ズボンを先に履くかという、どっちの概念も存在する訳で、どちらかがなくなるわけではない。

掛け算は可換（交換可能）だからと言って、どちらかの表記をなくせば良い、ということにはならないのです。

 
因みに、日本では昔、半九九で教えられていたそうです。
そして総九九になったのも、演算が理由ではなく、外国が総九九だったから取り入れたそうな。