掛け算を累加で定義すると掛け算が可換である事は自明ではない【掛け算の順序4話目】

<注意>
これは、小2すん(息子)のテストが発端となり、おいたん(兄)から聞いた話が面白かったので、漫画にしました。
ここだけ(4話目だけ)見ると、誤解が生じる恐れがあるので、是非、最後まで読んでいただければと思います。
学校教育に関する議論とは、無関係です。

掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない4コマ

こんにちは。しらこです。
前回のお話で、
掛け算の順序を考えることは、文章問題を解くのに役立つだろう
ということが分かりました。

そして今回は、
掛け算の順序は数学的に大事だよ
というお話をします。

私的には、「数学的に大事」…っていう言葉の意味がよく分からんのだけど、こういう意味で大事なことが、「数学的に大事」っていうことなんだなぁ〜と思ったよ。

【注意】
「掛け算の順序が数学的に大事」というのは、
"掛け算を累加で定義すると、掛け算が可換(交換可能)である事は自明ではない(当たり前ではない)"という意味で、数学的に大事だよ。という事です。
決して、掛け算の順序を守る事が、数学的に大事という意味ではありません。

順序を逆にしたら分からない

おいたん
掛け算の順序を逆にしたら、結果が同じっていうのは、すぐに分からんよね?

 

え?分かるけど。
「2×3」も「3×2」も答え「6」じゃん。
(何言ってんの?)

 

掛け算は入れ替えても答えが同じって、すぐ分かる?

41×17と17×41は同じってすぐ分かる?

おいたん
それは「2×3」という数字が小さくて、すぐ計算出来ているからだよ。
じゃあ、2桁の掛け算の問題を出そう。
「41×17」と「17×41」の結果が同じになるって、一瞬で分かる?

 

えっ??
41と17を入れ替えただけやん。答えが一緒になるに決まっとるやん。
(はぁ?何言っちゃってんの、この人?ますます意味分からんけど…)

(ここ、私が理解するのに一番苦労したところでした…)

「掛け算が可換(交換可能)である」と知っているに過ぎない

計算しないと分からないよね

おいたん
それは、「掛け算を入れ替えても結果が同じ」ということを知っているだけ。
これから掛け算の勉強をしようとする人たちは、そんなことは知らないんだよ。
「41×17=17×41」を証明するには、計算するでしょ?

 

やっぱり、何言ってんのか分からない…

 

「41×17」と「17×41」は見た目は同じ?

 

おいたん
じゃあ、「41×17」と「17×41」は見た目は同じ?
「2×3」と「3×2」でもいいけど、これは、見た目は同じ?

 

(えっ?見た目??)
(数字入れ替えただけでしょ?一緒じゃん!!)
同じ!!

 

おいたん
いやいや、違うやろ?
数字、入れ替わっとるやろ??

 

まぁ確かに数字は入れかわっとるけれども…

 

おいたん
ちょっと今、答えいくらになるか、計算してみて。

 

(電卓ポチポチ)
(どっちも)697!!

 

おいたん
今、電卓使ったでしょ?
電卓で、計算したでしょ?
「41×17」と「17×41」が同じ数になるか、電卓で「確認」したでしょ?
これ、掛け算を知らない人たちは、どうやって確認すると思う?
今、掛け算は足し算で定義しているから、1つずつ足していって、確認していくしかないんだよ。

【掛け算の順序2話目】で、「掛け算は累加(足し算)」と定義したので、「41×17」と「17×41」は、
41×17と17×41の見た目
↑こうなる。

この足し算、見た目が同じですか?一瞬で、計算できますか?

見た目は全然違うし、一瞬で計算もデキマセン…

 

計算してみて初めて「イコール」で結べる

証明が必要

おいたん
41×17を計算するとき、足し算してるでしょ?
掛け算を足し算で定義してるから、
「41×17」は、「41を17回」足して計算するんだよ。
答えが「697」だったね。
逆も同じ。「17を41回」足して、答えが「697」だと分かる。
「41×17」と「17×41」の、どちらも数えてみたら「697」と、数が同じになったから「=」で結べたんだよ。

 

なるほどね〜

 

おいたん
掛け算が可換(交換可能)って、どうやって知ったか覚えてる?
まず、九九を覚えるよね?その時に、九九の中の数字は、入れかえても答えが同じなんだな、と、知る。
九九の中の数字を入れかえても、「A×B=B×A」になってるから、「掛け算は交換可能」と思ってるに過ぎないんだ。
学校のドリルとかで何回もやっているうちに、「掛け算は数字を入れ替えても同じ答え(数字)が出てくる」と推測して、それが当たり前になる。
実際、掛け算は交換可能だしね。
だけど、A×B=B×Aは本当に成り立つの?と言われたら、証明しないと分からないんだ。

 

そっか〜。なるほどね〜。
私は、「掛け算が交換可能」って知っていて、それが当たり前だと思っていただけなんだねぇ〜。

 

おいたん
そうそう。
しらこが主張してたのは、三角形の合同の問題で、「△ABCと△DEFが、合同になることを証明せよ」って言ってるのに、「合同になるのを知っているから、その三角形は合同になるに決まってる」って言っているようなもの。

 

そっかぁ〜。
掛け算を累加で定義すると自明ではない(証明が必要)って意味が、ようやく分かったよ。
累加で定義しただけでは、それが可換かどうか、見た目違うし、分からないよねぇ。

 

でもさ、掛け算を足し算で定義すると証明が必要だよ。って話、
小学生には難しくない?
私だって、「証明せよ」って言われても、どうすれば良いか分からないし…。

 

おいたん
そうだね。
小学生に証明せよ。なんて言わないでしょ。
でもこういうところが、数学の面白いところでもあるんだ。

 

おいたん
それに掛け算は実は…続く。

 

 

うつぼ屋さんと言えば、「坊っちゃん団子」。
だけど私は、坊っちゃん団子より、しょうゆ餅が好き。
美味しいよ。

 

ではまた〜!!
コメント一覧
  1. 長澤 裕 より:

    小さい数で成り立つことが大きい数字では成り立たないと思ってるのかな?

    • しらこ より:

      小さい数で成り立つからと言って、全ての数で成り立つとは限らないですよね。
      数学的帰納法で証明する問題と同じです。
      ちなみに、小学生は、九九の範囲で成り立つから大きい数でも成り立つ、と思って良いと思います。
      厳密な証明や教育を小学生に求めている訳ではありません。

      (以下、蛇足かもしれませんが、色々な考えが寄せられるので、私の考えを書いておきます。)

      これは、おいたん(兄)から聞いた話が面白く、掛け算を累加で定義すると、掛け算は可換である事は自明ではない、という事が言いたい内容です。
      掛け算(高校までの普通の掛け算)を定義する方法は一通りではなく、定義の仕方によって可換性は小学生にも自明になります。
      こういった、ある定義や枠組みで証明することが難しくても、同値な別の定義や枠組みを用いることで証明できる事は数学ではよくあるそうです。
      この記事は、身近にもそんな例があって面白いよねってことを伝えたい記事です。

      掛け算の順序を固定して教える事について、「まとまりの数の概念の理解」が進むのか?と問われると、
      そこは、脳科学や認知科学等の分野だと思っているので、私には断言できませんが、日本語の語順を考えると、一定の効果はあるのでは?と思っています。(詳しくは、また記事に書こうと思っています。)
      だからと言って、学校教育で強制的に全員に教える、というのは反対です。
      「掛け算の順序を固定して指導する」という方法は、指導要領にも書いておらず、判断は現場の先生に任せられている、という現状だと思います。
      とはいえ、実際は同調圧力等により、現場の先生の中にも、掛け算の順序が違う事で、泣く泣くバツを付ける人もいれば、バツをつけられて、算数が嫌いになる子供がいる…。また、正しい(というと語弊がありますが)掛け算の順序で丸を付けられるということは、まとまりの数(単位あたりの量)を理解している人にとっては、学校が掛け算の順序を求めているから、こう回答する…というような忖度をして、(数学的に正しくない理解を曲げてまで、丸をもらうために)掛け算の順番を式に書くというのは、科学にとってはプラスどころか、マイナスであるとすら思っています。
      そこは、掛け算順序否定派の人たちの考え方に同意します。

      掛け算順序否定派の人たちが、世の中を変えようと訴え続け、しかし、優しい言葉の訴えでは全然世の中が変わらなかったので、凄い強い言葉で訴えるようになった…というのにも、理解は示せます。
      しかし、ただ、理解は示せるだけで、私はそういう行動をしようと思いません。
      そういった強い言葉で行動するのが正しいとは、私は思いません。

      また、掛け算順序固定で教える事に一つもメリットがない…という人もいますが、一つもメリットがないというエビデンスもありません。
      メカニズムが分かっているからといって、そのメカニズムに合わないと無意味か?というと、そんな事は全然なく、また、そこが難しく、解明されていないところだと思っています。
      こと教育に関して、入力と出力の間にはブラックボックスがあり、Aと入力したからと言って、Aの出力が出る訳ではない…ということを、理解しておく必要があるのではないかな?と思います。

      掛け算順序否定派の人たちが主張している事はよく分かりますし、今の教育業界の現状を考えると、極端なことを言って叩きたくなるのも、勿論分かります。
      でも、この記事は、そう言ったことを言っている記事ではありません。

  2. あーあ より:

    長方形の面積を考えれば同じなのは明らかですが。

    足し算でも全く同じことが言えますが、1+2と2+1は違うという立場なんでしょうか。まあそうなんでしょうね

  3. 長澤 裕 より:

    「小さい数で成り立つからと言って、全ての数で成り立つとは限らない」という議論がまったく理解できません。
    大きくても小さくても数は数なんではないのでしょうか?
    実際に数の大小で成り立たなくなるものって何がありますか?
    もし成り立たなくなるのであれば、どれだけ大きさを変えると成り立たなくなるのでしょうか?
    その境界線はどこにありますか?

    • しらこ より:

      小さい数で成り立つからと言って、全ての数で成り立つとは限らない、について。
      掛け算を累加で定義すると、
      m×n=m+m+m+…+m(mがn個)
      n×m=n+n+n+…+n(nがm個)
      こうなりますが、これ、見た目が同じですか?
      イコールで結べると、証明できますか?

      具体例
      円周率π=333/106ですか?
      桁数をnとすると、nが1や2、3など、数が小さいうちは成り立ちますが、nが大きくなると、成り立ちません。
      実際これは、円周率πの近似値に過ぎないからです。

      • 長澤 裕 より:

        πと333/106は小さくても大きくてもイコールではありません。

        そもそも証明の話はしていません。
        実際に数の大小で成り立たなくなるものって何がありますか?
        と聞いています。yesかnoかでお答えください。

        • 長澤 裕 より:

          すみません。
          yesかnoかはおかしいですね。
          あるかないかでお答えください。

          あと、πの話もよくわからないですね。
          πは無理数なので、333/106ではないし、この場合のnってなんですか?
          「桁数をn」と言ってますが、なんの桁数の話をしてるんですか?

  4. 長澤 裕 より:

    ああ、なんとなくわかってきた。
    そもそも無理数とは、「分子、分母ともに整数である分数で表すことのできない実数」なので、π=333/106という式自体が間違ってるんじゃないでしょうか?
    桁数変えてもπが「分子、分母ともに整数である分数で表すことのできない実数」であることに変わりはないですね。

    • しらこ より:

      すみません、私と論点が違っていたようです。
      ここの話、私も初めはよく理解できていなかったので、よく分かります。
       
      長澤さんは、
      既に証明されているものについて、数の大小に関わらず成り立つのは当たり前であり、数の大小が変わることで、成り立たなくなることがあるのか?
      と質問されているという解釈で合っていますか?
      それならば、既に証明されているもの(例えば、掛け算は可換である)は、数の大小に関わらず、成り立ちます。
      任意の自然数nで命題P(n)が真であるならば、nの大小に関わらずその命題は真です。
      既に任意の実数で証明されている命題で、実数の大小が変わることによって成り立たなくなるものは、「ない」です。
       
      そしてこの記事は、証明の話しかしていません。
      この記事は、「掛け算」という演算を累加で定義すると、可換は自明ではない(可換であると言うには証明が必要)、という、この一点を説明している記事になります。
      この累加による掛け算の定義からは、掛け算は可換であることは自明とは言えません(数学的帰納法を使って、可換を証明することはできます)。
      累加で定義しても掛け算は可換であることは数学的事実としては変わりませんが、その話をしている訳ではありません。
       
      私は、長澤さんの質問「数の大小で成り立たなくなるものがあるのか?」というのは、「自然数nの大小で真偽が変わるような命題P(n)が存在するか?」と解釈していました。
       
      333/106を小数で表した時の左からn番目の数字は、円周率πを小数で表した時の左からn番目の数と一致している
      という命題をP(n)とする。
      この時、nが4までは成り立つけど、5以上では成り立たない。
      という例でした。

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